II-B) Utilisation de ces principes physiques pour la création de sensations

 

Comme nous le disions précédemment afin de créer des sensations, il faut une notion d’accélération, pour cela rien de plus simple que d’utiliser l’accélération de la pesanteur terrestre où encore le changement brutal de direction (c’est ce que l’on ressent dans un virage pris à grande vitesse avec un véhicule automobile).

 

 

En partant du sommet d’une montagne russe, comme nous l’avons vu, l’énergie potentielle emmagasinée se transforme en énergie cinétique, l’accélération subie étant approximativement celle de la pesanteur terrestre. De plus nous « tombons » avec le véhicule du manège dans lequel nous sommes installés d’où une sensation d’apesanteur qui durera le temps de la chute et se terminera par une sensation d’écrasement (impression de compression au niveau de la cage thoracique) lors de la fin de la descente.

 

Application à un looping de montagne russe.

Les changements de direction peuvent être de différentes sortes : creux, dos d’âne, vrilles, tournants, etc… Les plus impressionnants sont les loopings.

Nous allons à présent utiliser les formules vues précédemment afin de déterminer les conditions nécessaires à la réalisation d’un looping et ce en toute sécurité.

Pour cela, on considère un point matériel P, représentant le centre de gravité d’un véhicule de manège, de masse m se déplaçant sans frottement sur le profil décrit sur la figure ci-dessous. Ce profil « support » représente les rails du manège.

 

Boucle de looping

Dans un premier temps, nous considèrerons que la hauteur h de départ est supérieure au diamètre 2r du looping.

Le véhicule P est lâché sans vitesse initiale du point A.

 

En B, il suit le profil circulaire décrit par la boucle de centre O et de rayon r, en tournant dans le sens positif du cercle trigonométrique.

Dans la réalité, cette boucle est en fait une hélice décalée au minimum de la largeur de la voie. Dans notre cas nous considèrerons que P passe en B' après la boucle et on admettra que B'= B. On considèrera ainsi que le mouvement est circulaire sur la boucle (C ) (et non hélicoïdal). Eventuellement de retour en B, le point P continue sa course vers D, puis au-delà.

 

• m : masse du solide (kg)
• g : intensité ou accélération de la pesanteur terrestre (10 m.s^-2 ou 10 N.kg^-1)
• r : rayon de la boucle de looping (m)
• h_(A) : hauteur de départ (m)
• V : vitesse du solide (m.s^-1)

Calculons la vitesse V_(B) du point P en B et comparons V_(B) et V_(D).

Entre A et B, si l’on néglige les frottements, il y a conservation de l'énergie mécanique.

 

L'énergie mécanique en A est sous forme d’énergie potentielle de pesanteur :

E_p(A)  =  mgh_(A) = Ph_(A)

 

L'énergie mécanique en B est sous forme d’énergie cinétique :

E_c(B) = ½  m V_(B)²

 

Si aucune des forces exercées sur un solide (excepté le poids) ne travaillent alors l'énergie mécanique est conservée, comme nous l’avons vu précédemment, l'énergie mécanique, à un instant t, est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle au même instant t.

E_m = E_c(B) + E_p(A)

 

Dans notre cas l’énergie mécanique est constante, donc :

E_c(B) = E_p(A)

½  m V_(B)²  =  m g h_(A)

V_(B)  =  √(2 g h_(A))

Cette formule nous permet de connaître la vitesse maximale atteinte par un véhicule de manège en fonction de sa hauteur de départ.

On remarquera qu’en l’absence de pertes par frottements ou autres, la vitesse est indépendante de la masse du véhicule.

De plus entre B et D, en l'absence de frottements, l'énergie mécanique se conserve : B et D étant à la même altitude, les énergies cinétiques en B et en D sont donc identiques.

Donc V_(B)= V_(D) ce qui signifie que si l’on néglige les frottements nous avons la même vitesse à l’entrée d’un looping qu’à la sortie de celui-ci.

 

 

Calculons la vitesse V du point P en un point quelconque de la boucle (C ).

 

Altitude du point P (origine des altitudes ; h_(B) = 0) :

h_(P) = r + r sin α = r (1 + sin α)

 

Energie mécanique du véhicule P :

E_m(P) = E_p(P) + E_c(P)

 

Energie potentielle du véhicule P :

E_p(P)  =  mgh_(P)

 

Energie cinétique du véhicule P :

E_c(P) = ½  m V_(P)²

 

D’où :

E_m(P) = m g r (1 + sin α) + ½  m V_(P)²

 

 

Nous avons toujours conservation de l'énergie mécanique :

E_m(P) = E_m(A)

E_m(P) = m g r (1 + sin α) + ½  m V_(P)²

E_m(A)  =  m g h_(A)

 

En conclusion

m g r (1 + sin α) + ½  m V_(P)² =  m g h_(A)

g r (1 + sin α) + ½  V_(P)² =  g h_(A)

½  V_(P)² =  g h_(A) - g r (1 + sin α)

V_(P)² =  2 g (h_(A) - r (1 + sin α))

V_(P)  =  √(2 g (h_(A) - r (1 + sin α)))

 

Identifions la R_éaction exercée par le support sur le point matériel P.

 

Lorsque nous tournons dans un rond point, nous ressentons une action qui tend à nous faire sortir de notre trajectoire circulaire.

Elle est le produit de notre masse par l’accélération normale (communément appelée « accélération centripète »).

La valeur de cette accélération normale, dirigée vers le centre de rotation, est :

a = V² / r

Et l'action que nous ressentons :

F  = - m a

Elle est de signe négatif car elle tend à nous éloigner du centre.

 

 Détail de la boucle de looping

 

 Ainsi suivant le vecteur n

R_éaction + m g sin α  - m (V² / r) = 0

R_éaction + m g sin α  = m (V² / r)

d’où

R_éaction = m ((V² / r) − g sin α)  

avec

V_(P)² =  2 g (h_(A) − r (1 + sin α))

d’où

R_éaction = m (((2 g (h_(A) - r (1 + sin α))) / r) - g sin α)

R_éaction = (m g / r) × (2 h_(A) − 2 r (1 + sin α)  – r sin α))

R_éaction = (m g / r) × (2 h_(A) − 2 r − 2 r sin α  – r sin α)

R_éaction = (m g / r) × (2 h_(A) − 2 r − 3 r sin α)

 

 

 

Remarque :

 

sin α est une fonction croissante entre -90° et +90 ° :   donc la R_éaction décroît.

sin α est fonction décroissante entre +90° et +270 ° :   donc la R_éaction croît.

 

Ainsi la réaction est minimale au sommet de la trajectoire.

 

Calculons la hauteur minimale de départ évitant la chute du véhicule.

Nous allons calculer quelle doit être la hauteur minimale h_(sécurité) afin que le véhicule ne quitte pas les rails.

R_éaction = (m g / r) × (2 h_(sécurité) − 2 r − 3 r sin α)

Pour que le solide quitte la piste circulaire, il faut que la R_éaction s’annule.

Donc :

R_éaction = O = (m g / r) × (2 h_(sécurité) − 2 r − 3 r sin α)

 

O = (m g / r) × (2 h_(sécurité) − 2 r − 3 r sin α)

 

Afin que le solide ne quitte pas la piste circulaire, il est nécessaire qu’au point le plus haut (C), la réaction soit supérieure ou égale à zéro.

Alors  α = π/2 et sin α = 1.

Ainsi :

O = (m g / r) × (2 h_(sécurité) − 2 r − 3 r)

O = (m g / r) × (2 h_(sécurité) − 5 r)

O = 2 h_(sécurité) − 5 r

2 h_(sécurité) = 5 r

h_(sécurité) = 5 ⁄ 2 r

 

Ainsi, si l’on néglige les frottements, la hauteur minimale de départ d’un véhicule de montagnes russes lâché sans vitesse initiale n’est fonction que du rayon de la boucle de looping à réaliser.

On notera que ni la masse du solide ni la valeur de l’accélération de la pesanteur terrestre n’ont d’influence sur la position où le solide quitte la piste.